Geometri (Greek; geo= bumi, metria=
ukuran) adalah sebagian dari matematika yang mengambil persoalan mengenai
ukuran, bentuk, dan kedudukan serta sifat ruang. Geometri adalah salah satu
dari ilmu yang tertua. Awal mulanya sebuah badan pengetahuan praktikal yang
mengambil berat dengan jarak, luas dan volume, tetapi pada abad ke-3 geometri
mengalami kemajuan yaitu tentang bentuk aksiometik oleh Euclid, yang hasilnya
berpengaruh untuk beberapa abad berikutnya.
Geometri merupakan salah satu cabang dalam ilmu
matematika. Ilmu Geometri secara harfiah berarti pengukuran tentang bumi, yakni
ilmu yang mempelajari hubungan di dalam ruang. Sejatinya, ilmu geometri sudah
dipelajari peradaban Mesir Kuno, masyarakat Lembah Sungai Indus dan
Babilonia. Peradaban-peradaban kuno ini diketahui memiliki keahlian dalam
drainase rawa, irigasi, pengendalian banjir dan pendirian bangunan-bagunan
besar. Kebanyakan geometri Mesir kuno dan Babilonia terbatas hanya pada
perhitungan panjang segmen-segmen garis, luas, dan volume.
Geometri
Analitik,
juga disebut geometri koordinat dan dahulu disebut geometri Kartesius, adalah
pembahasan geometri menggunakan prinsip-prinsip aljabar menggunakan bilangan riil. Biasanya, sistem koordinat
Kartesius diterapkan untuk menyelesaikan persamaan bidang,
garis, garis lurus, dan persegi, yang sering
dalam pengukuran 2 atau 3 dimensi. Seperti yang diajarkan di buku pelajaran
sekolah, geometri analitis dapat dijelaskan dengan sederhana: terfokus pada
pendefinisian bentuk bangun dalam bilangan dan menjadikan sebagai sebuah hasil
perhitungan. Hasil perhitungan dapat diasumsikan sebagai sebuah vektor atau
bangun. Bagaimanapun juga beberapa output numerik juga membentuk vektor. Ada
anggapan bahwa lahirnya geometri analitis adalah permulaan matematika modern.
Geometri Analitik merupakan kombinasi antara aljabar dan geometri. Dengan membuat
korespondensi antara persamaan matematika secara aljabar dengan tempat
kedudukan secara geometrik diperoleh suatu metoda pemecahan masalah geometri
yang lebih sistematik dan lebih tegas. Masalah-masalah geometri akan
diselesaikan secara aljabar (atau secara analitik). Sebaliknya gambar geometri
sering memberikan pemahaman yang lebih jelas pada pengertian hasil secara
aljabar. Dalam hal ini juga memungkinkan menyelesaikan masalah aljabar secara
geometri, tetapi model bentuk geometri jauh lebih penting daripada sekedar
penyelesaian, khususnya jika bilangan dikaitkan dengan konsep pokok
geometri.
Sebagai contoh, panjang suatu segmen
garis atau sudut antara dua garis.
Jika garis dan titik secara geometrik diketahui, maka bilangan yang menyatakan panjang atau besar sudut antara dua garis pada hakekatnya hanyalah nilai pendekatan dari suatu pengukuran.
Tetapi metoda aljabar memandang bilangan itu sebagai perhitungan yang eksak (bukan pendekatan).
Geometri Analitis (Analytic
Geometry) adalah penyederhanaan dari permasalahan dalam pelajaran geometri yang
diselesaikan dengan bantuan al jabar. Di
sini banyak di bicarakan masalah-masalah geometri secara sederhana, sehingga
mempermudah kita untuk mempelajarinya. Dengan memakai geometri analitik pula
kita membahas berbagai kemungkinan dari penafsiran geometri, dengan
mempergunakan persamaan-persamaan al jabar.
Geometri
analitik pada dasarnya terbagi menjadi dua bagian besar,
yaitu Geometri Analitik Bidang dan Geometri Analitik Ruang. Kedua bagian ini
satu sama lainnya saling berhubungan erat tidak bisa dipisah-pisahkan.
B. SEJARAH PERKEMBANGAN GEOMETRI ANALITIK
Terdapat
perbedaan pendapat tentang siapa yang menemukan geometri analitik.Tidak
diketahui dengan jelas siapa penemu geometri analitik. Kita tahu bahwa Yunani
Kuno menemukan berbagai hal tentang aljabar geometri, dan dikenal banyak orang
tentang koordinat yang digunakan di jaman kuno oleh orang Mesir dan Romawi
dalam pembuatan peta. Dan orang-orang Yunani mempunyai andil besar dalam
geometri khususnya persamaan geometri, persamaan kurva Cartesius, merupakan
pendapat asli dari Menaechmus.
Pada abad 14 Nicole Oresme
melahirkan dalil-dalil dengan cara pembuatan grafik kurva variabel bebas
(latitudo) yang berbeda dengan grafik kurva variabel tidak bebas (longitudo). Semua ini masih jauh dari apa yang
sebenarnya kita pikirkan tengan gemetri analitik, dan mungkin memang benar
bahwa kontribusi konstanta telah ditemukan Descartes dan Fermat pada abad ke 17
sebagai suatu hal penting dalam geometri analitik. Pada awal abad ke-17
terdapat dua perkembangan penting dalam geometri.Perkembangan geometri yang
pertama dan yang terpenting, adalah penciptaan geometri analik, atau geometri
dengan koordinat dan persamaan, oleh Rene Descartes (1596-1650) dan Pierre de
Fermat (1601-1665).Ini adalah awal yang di perlukan untuk perkembangan
kalkulus. Perkembangan geometrik kedua adalah penyelidikan sistematik dari
geometri projektif oleh Girard Desargues (1591– 1661). Geometri
projektif adalah penyelidikan geometri tanpa ukuran, cuma dengan menyelidik
bagaimana poin selari dengan satu sama lain.
C. PARA PENEMU GEOMETRI ANALITIK
1. Rene Descartes
(1596-1650)
Matematikawan Rene Descartes, yang lahir di sebuah Desa
La Haye Prancis tanggal 31 Maret 1596, adalah orang yang memiliki ketertarikan
pada bidang geometri analitik. Terobosan baru pada penemuan karya
matematika dalam bidang analitik geometri yang dipelopori oleh Descartes. Pemikiran
Descartes mengenai geometri analitik dituangkan dalam tulisanya yang berjudul “La Géométrie” Karyanya yaitu koordinat kartesius. Uraian
geometri pada bagian pertama dari karya ini diuraikan mengenai aljabar
geometri sebagai pengembangan dari aljabar geometri gerik purbakala. Saat
Beliau mempelajari bentuk -bentuk dengan menggunakan sumbu-sumbu. Descartes
menemukan hasil mengejutkan, diketahui bahwa semua bentuk mempunyai kategori
persamaan umum, seperti halnya garis lurus. Menentukan suatu titik memenuhi
relasi x dan y.
2 .Pierre de Fermat (1601-1665)
Fermat lahir di
Toulouse, anak dari seorang saudagar kulit. Beliau memperoleh pendidikan
di bidang hukum, dan bekerja sebagai ahli hukum dengan penampilannya yang
sederhana. Penemuan fermat terpenting adalah
mengenai teori bilangan. Dalam teori bilangan Beliau dipandang memiliki intuisi
dan kemampuan luar biasa yakni: Jika m suatu bilangan prima dan p bilangan
relatif prima kepada m maka pm-1 -1 habis dibagi m. Misalnya: m = 5, p =4 maka
45-1 -1 = 255 habis dibagi 5. Tiap bilangan prima ganjil dapat dinyatakan
sebagai selisih dari dua kuadrat hanya dengan satu cara. Teorema ini dibuktikan
sebagai berikut : Jika p suatu bilangan prima ganjil, maka : Bukti yang
diberikan itu amat sederhana. Sebut p = x2 – y2, maka p = (x + y) (x - y)
Karena p adalah bilangan prima, maka faktornya hanyalah x +y = p dan, x - y =
1. ü
Suatu Bilangan Prima dalam bentuk p = 4m+1 dapat dinyatakan sebagai jumlah dari
dua bilangan kuadrat. Misalnya: 13 = 4 x 3 + 1= 22 + 32 29 = 4 x 7 + 1 = 52 +
22 . Bilangan Prima p = 4m +1 hanya terjadi satu kali sebagai hipotenusa
segitiga siku. Kuadrat dari p dapat terjadi dua kali sebagai hipotenusa dan
pangkat tiga dari p dapat terjadi tiga kali sebagai hipotenusa dan seterusnya.
Contohnya : p = 13 = 4(3) + 1, maka 132 = 122 + 52 ( satu kali), p = 169, maka
1692 = 1562 + 652 = 1202 + 1192 (dua kali) Dan seterusnya. Terdapat hanya satu
bilangan bulat sebagai penyelesaian dari x2 + 2 = y3 , dan hanya dua dari x2 +
4 = y
3 Soal ini dikemukakan Fermat
sebagai tantangan kepada ahli matematika inggris. Penyelesaiannya : x = 5 , y =
3 pada persamaan pertama. x=2, y =2 ; x =1 , y = 5 pada persamaan kedua.
