KEDUDUKAN TITIK-TITIK DAN JARAK ANTARA DUA KURVA

 

TITIK

Sebelum membahas kedudukan titik kita akan membahas apa itu titik ? Dalam “dunia matematika” titik merupakan sesuatu yang punya kedudukan, tetapi titik tidak punya ukuran. Sama seperti dalam dunia menulis, dalam dunia matematika titik direpresentasikan dengan sebuah noktah “.”. Hanya saja dalam dunia matematika titik diberi nama dengan menggunakan huruf kapital seperti A, B, atau C, dan seterusnya. Pada gambar di bawah ini diperlihatkan dua buah titik, yaitu titik B dan titik Q. 

           Maka dapat di simpulkan bahwa ttik adalah adalah bagian terkecil dari suatu objek, yang menempati suatu tempat atau posisi, yang tidak memiliki panjang, lebar, dan tinggi, besaran, satuan.

KEDUDUKAN TITIK-TITIK

Konsep titik diperkenalkan dalam geometri Euclid sebagai elemen yang tidak didefinisikan dan tidak memiliki dimensi panjang. Euclid mendefinisikan titik dalam buku I-Element yaitu “a point is that which has no part”. Geometri Euclid hanya membahas sifat titik yang diam/tetap. Sedangkan geometri analitik juga menelaah sifat-sifat titik yang bergerak seperti yang terjadi di alam.

Dua buah titik yang berbeda akan berada pada posisi yang berbeda. Jarak kedua titik tersebut dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

1. Buatlah dua titik berbeda yaitu A dan B lalu hubungkan dengan sebuah ruas garis.
2. Buatlah garis melalui A dan sebuah gars lain yang melalui B sehingga kedua garis berpotongan tegak lurus. 
3. Tentukan titik potong kedua gaaris yaitu C sehingga siku-siku ABC atau BCA lalu ukur panjang ruas garis CA dan CB. 
4. Tentukan panjang ruas gariss AB dengan menngunakan Teorema Phytagoras : 

                                   

Titik-titik pada sebuah bidang yang membentuk himpunan titik dan memenuhi suatu kriteria tertentu dinamakan kedudukan titik (locus of points). Kedudukan titik dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi. Misalnya titik-titik pada lingkaran berjari-jari 1 cm dapat dinyatakan sebagai x² + y² = 1. Secara geometris, hanya titik-titik berjarak 1 cm dari titik pusat lingkaran tersebut yang memenuhi kedudukan titik yang dinyatakan oleh persamaan x² + y² = 1. 

Teorema-teorema dasar tentang kedudukan titik-titik (Fundamental Locus Theorems)

TEOREMA	GAMBAR
Teorema 1.1 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah titik P adalah sebuah lingkaran berpusat di titik P dengan ukuran panjang jari-jari d
Teorema 1.2 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah garis l  adalah sepasang garis-garis sejajar yang masing-masing berjarak d dari garis l
Teorema 1.3 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama (equidistant) dari dua buah titik P dan Q adalah sebuah ruas garis (disebut perpendicular bisector).yang tegak lurus  terhadap ruas garis (PQ) ̅   dan membagi (PQ) ̅   menjadi dua bagian sama besar
Teorema 1.4 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua garis yang sejajar yaitu l1 dan l2 merupakan sebuah garis diantara keduanya dan sejajar dengan kedua garis tersebut.
Teorema 1.5 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap dua garis yang berpotongan yaitu l1 dan l2, adalaha sepasang ruas garis (disebut bisectors) yang membagi dua sama besar sudut-sudut yang yang dibentuk garis l1 dan l2
Teorema 1.6 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari kedua sisi sebuah sudut adalah sebuah ruas garis yang membagi dua sudut tersebut (bisector of angle)
Teorema 1.7 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua buah lingkaran konsentris (concentric circles) adalah sebuah lingkaran yang konsentris terhadap kedua lingkaran tersebut dan berada tepat di tengah keduanya
Teorema 1.8 Kedudukan titik-titik pada jarak tertentu dari sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari lebih panjang dari jarak tersebut merupakan sebuah pasangan lingkaran konsentris, di mana masing-masing kedudukan titik tersebut berada di salah satu sisi lingkaran pada jarak tertentu tersebut.
Teorema 1.9 Kedudukan titik-titik yang berjarak tertentu dari suatu lingkaran berjari-jari kurang dari jarak tersebut merupakan sebuah lingkaran yang berada di luar lingkaran pertama dan saling konsentris.