TUGAS UJIAN AKHIR SEMESTER

PRAKTIKUM GEOMETRI ANALITIK

Disusun oleh :

Nama                  : Fatikhah Nur Sella

NPM                  : A1C017063

Dosen Pengampu :

1.      Drs. Rusdi, M.Pd.

2.      Nur Aliyyah Irsal, MPd.

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS BENGKULU

2019

Link tugas UAS :

1. https://drive.google.com/open?id=11AxMfCyjR2mB5h4DoAoPmwCHJyLTaqCm

2. https://drive.google.com/open?id=1JPO1t2cZkxEJKAW3TOH1m0jaDR1YcuAy

3. https://drive.google.com/open?id=1vZBvU7ixvCGtlx03R28tir28uPt5fbwi

4. https://drive.google.com/open?id=1T1i2XoQ39-A6Cbyr92BiXgyCHeUAi676

Soal Latihan BOLA
HALAMAN 330, NO 2 dan 4

2. Diketahui titik P(2, 4, 5) dan menyinggung xy. Tentukan persamaan bola.
    Pembahasan :
    diketahui : r = 5
                     P(a, b, c) = P(2, 4, 5)
    ditanya  : persaamaan bola ?
    jawab :
     (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = r²
      (x – 2)² + (y – 4)² + (z – 5)² = 5²
      (x – 2)² + (y – 4)² + (z – 5)² = 25
      x² + y ² + z² - 4x - 8y - 10z + 4 + 16 + 25 -25 = 0
      x² + y ² + z² - 4x - 8y - 10z + 20 = 0  (persamaan bola)


4. Tentuka pusat dan jari-jari bola dengan persamaan 4x² + 4y ² + 4z² - 4x + 8y + 16z - 13 = 0
    Pembahasan :
    4x² + 4y ² + 4z² - 4x + 8y + 16z - 13 = 0 (:4)
    x² + y ² + z² - x + 2y + 4z - 13/4 = 0
    didapat : A = -1, B = 2, C = 4, D = -13/4
    maka :
    titik pusat bola adalah 

BOLA


Devinisi Bola

     Permukaan Bola merupakan tempat kedudukan titik ujung vektor-vektor di dalam ruang yang titik awalnya adalah titik tertentu, dan panjangnya adalah konstant.

     Titik awal tertentu itu disebut TITIK PUSAT Bola, dan panjang vektor yang konstant itu disebut JARI-JARI Bola.


Persamaan Bola

Persamaan bola dengan pusat P(a, b, c) dan berjari-jari r. Ambil sembarang titik Q(x, y, z) pada bola.

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = r²

^{KOORDINAT BOLA :}

x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D  = 0

sehingga, didapat BENTUK UMUM persamaan Bola 

-2a = A, maka a = -½ A

-2b = B, maka b = -½B

-2c = C, maka c = -½C

Dengan demikian pusat Bola B pada persamaan diatas adalah

M(-½A, -½B, -½C)

Begitu pula karena  a² + b² + c² – R² = D, maka didapat jari-jari bola :

R² =  a² + b² + c² – D

R² = (-½A)² + (-½B)² + (-½C)² – D

R² = ¼A² + ¼B² + ¼C² – D

R² = √(¼A² + ¼B² + ¼C² – D) 

Untuk bola B dengan persamaan x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D  = 0 terdapat tiga kemungkinan, yaitu

1. Bila R² > 0, maka B adalah bola sejati

2. Bila R² = 0, maka B adalah bola titik (jari-jari = 0)

3. Bila R² < 0, maka B merupakan bola khayal

HIPERBOLA



Devinisi 

    Hiperbola adalah himpunan titiktitik pada suatu bidang dimana selisih jarah titik terhadap dua titik fokusnya (F1 dan F2) konstan.

Persamaan Hiperbola

1. Pusat (0,0)

     Horizontal :

     Vertikal :

2. pusat (h,k)

3. Garis Singgung

ELLIPSE


Devinisi

     Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu yang diketahui adalah tetap/konstan. Dua titik tertentu di atas disebut titik fokus  (foci).

1)   Elips yang berpusat di titik (0,0)

Elips didefinisikan sebagai lokus titik (x, y) yang bergerak sehingga jumlah jarak dari dua titik tetap (disebut fokus, atau berfokus) adalah konstan. Jadi, persamaan yang digunakan pada elips saat titik focus berada di (-a,0) dan (a,0) adalah

Dimana c didapat dari :

Jika sumbu utama adalah vertical, maka rumusnya menjadi :

Kita selalu menggunakan a dan b seperti a > b. Sumbu utama selalu dikaitkan dengan a.

HORIZONTAL :

VERTIKAL :

2)   Elips yang berpusat (h,k)

     Untuk sumbu utama horizontal, jika bergerak persimpangan sumbu x dan y ke titik (h,k) akan kita dapatkan:

HORIZONTAL :

VERTIKAL :

 3)   Garis Singgung

Garis singgung disuatu titik pada elips yang membagi dua sama besar sudut antara garis penghubung.

Suatu garis lurus dapat memotong elips, menyinggung atau tidak memotong dan tidak menyinggung elips. Dalam hal yang terakhri garis dan elips tidak mempunyai titik persekutuan. Kita akan mencari persaman garis singgung yang gradiennya m.

Jadi, persamaan garis singgung yang gradiennya m adalah,

PARABOLA


Devinisi

     Parabola adalah tempat kedudukan titik titik yang bergerak sama dari suatu titik dan suatu garis tertentu. Titik itu disebut titik api dan garis tertentu itu disebut garis garis arah (direktris).

     Parabola adalah bagian kerucut yang merupakan irisan antara permukaan suatu kerucut melingkar dengan suatu bidang datar. Parabola ini dapat dinyatakan dalam sebuah persamaan:

Atau secara umum, sebuah parabola adalah kurva yang mempunyai persamaan:

sehingga

dengan nilai A dan B yang riel dan tidak nol.

Contoh

Tentukan titik fokus dan garis direktris sebuah parabola y² + 10x = 0. Lalu buatlah sketsanya.

Pembahasan :

y² + 10x = 0

          y² = -10x

puncak di (0,0)

Halaman 293

10.   Persamaan bidang yang melalui titik-titik (0, 0, 0), (1, 3, 2), dan (3, 1, -2) adalah......

        Pembahasan :

        

HIPERBOLA DAN HIPERBOLOIDA


HIPERBOLA

(Perhatikan vidio di bawah ini!)

Hiperbola diperoleh dari irisan kerucut. Hiperbola merupakan himpunan titik-titik pada suatu bidang yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu besarnya sama.

Persamaan Hiperbola pusat (0, 0):
titik fokus pada sumbu-x

titik fokus pada sumbu-y

HIPERBOLOIDA

(Perhatikan vidio di bawah ini!)

Hiperboloida merupakan himpunan titik-titik pada bidang tiga dimensi yang selisih jaraknya terhadap dua titik tetap adalah sama.

Persamaan Hiperboloida dua daun :

dengan mengatur setiap variabel sama dengan nol :
jejak pada bidang xy :

jejak pada bidang xz : 

jejak pada bidang yz :

 (sehingga tidak ada jejak pada bidang yz)

KEDUDUKAN TITIK-TITIK DAN JARAK ANTARA DUA KURVA

 

TITIK

Sebelum membahas kedudukan titik kita akan membahas apa itu titik ? Dalam “dunia matematika” titik merupakan sesuatu yang punya kedudukan, tetapi titik tidak punya ukuran. Sama seperti dalam dunia menulis, dalam dunia matematika titik direpresentasikan dengan sebuah noktah “.”. Hanya saja dalam dunia matematika titik diberi nama dengan menggunakan huruf kapital seperti A, B, atau C, dan seterusnya. Pada gambar di bawah ini diperlihatkan dua buah titik, yaitu titik B dan titik Q. 

           Maka dapat di simpulkan bahwa ttik adalah adalah bagian terkecil dari suatu objek, yang menempati suatu tempat atau posisi, yang tidak memiliki panjang, lebar, dan tinggi, besaran, satuan.

KEDUDUKAN TITIK-TITIK

Konsep titik diperkenalkan dalam geometri Euclid sebagai elemen yang tidak didefinisikan dan tidak memiliki dimensi panjang. Euclid mendefinisikan titik dalam buku I-Element yaitu “a point is that which has no part”. Geometri Euclid hanya membahas sifat titik yang diam/tetap. Sedangkan geometri analitik juga menelaah sifat-sifat titik yang bergerak seperti yang terjadi di alam.

Dua buah titik yang berbeda akan berada pada posisi yang berbeda. Jarak kedua titik tersebut dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

1. Buatlah dua titik berbeda yaitu A dan B lalu hubungkan dengan sebuah ruas garis.
2. Buatlah garis melalui A dan sebuah gars lain yang melalui B sehingga kedua garis berpotongan tegak lurus. 
3. Tentukan titik potong kedua gaaris yaitu C sehingga siku-siku ABC atau BCA lalu ukur panjang ruas garis CA dan CB. 
4. Tentukan panjang ruas gariss AB dengan menngunakan Teorema Phytagoras : 

                                   

Titik-titik pada sebuah bidang yang membentuk himpunan titik dan memenuhi suatu kriteria tertentu dinamakan kedudukan titik (locus of points). Kedudukan titik dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi. Misalnya titik-titik pada lingkaran berjari-jari 1 cm dapat dinyatakan sebagai x² + y² = 1. Secara geometris, hanya titik-titik berjarak 1 cm dari titik pusat lingkaran tersebut yang memenuhi kedudukan titik yang dinyatakan oleh persamaan x² + y² = 1. 

Teorema-teorema dasar tentang kedudukan titik-titik (Fundamental Locus Theorems)

TEOREMA	GAMBAR
Teorema 1.1 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah titik P adalah sebuah lingkaran berpusat di titik P dengan ukuran panjang jari-jari d
Teorema 1.2 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah garis l  adalah sepasang garis-garis sejajar yang masing-masing berjarak d dari garis l
Teorema 1.3 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama (equidistant) dari dua buah titik P dan Q adalah sebuah ruas garis (disebut perpendicular bisector).yang tegak lurus  terhadap ruas garis (PQ) ̅   dan membagi (PQ) ̅   menjadi dua bagian sama besar
Teorema 1.4 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua garis yang sejajar yaitu l1 dan l2 merupakan sebuah garis diantara keduanya dan sejajar dengan kedua garis tersebut.
Teorema 1.5 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap dua garis yang berpotongan yaitu l1 dan l2, adalaha sepasang ruas garis (disebut bisectors) yang membagi dua sama besar sudut-sudut yang yang dibentuk garis l1 dan l2
Teorema 1.6 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari kedua sisi sebuah sudut adalah sebuah ruas garis yang membagi dua sudut tersebut (bisector of angle)
Teorema 1.7 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua buah lingkaran konsentris (concentric circles) adalah sebuah lingkaran yang konsentris terhadap kedua lingkaran tersebut dan berada tepat di tengah keduanya
Teorema 1.8 Kedudukan titik-titik pada jarak tertentu dari sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari lebih panjang dari jarak tersebut merupakan sebuah pasangan lingkaran konsentris, di mana masing-masing kedudukan titik tersebut berada di salah satu sisi lingkaran pada jarak tertentu tersebut.
Teorema 1.9 Kedudukan titik-titik yang berjarak tertentu dari suatu lingkaran berjari-jari kurang dari jarak tersebut merupakan sebuah lingkaran yang berada di luar lingkaran pertama dan saling konsentris.