Soal Latihan BOLA
HALAMAN 330, NO 2 dan 4

2. Diketahui titik P(2, 4, 5) dan menyinggung xy. Tentukan persamaan bola.
    Pembahasan :
    diketahui : r = 5
                     P(a, b, c) = P(2, 4, 5)
    ditanya  : persaamaan bola ?
    jawab :
     (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = r²
      (x – 2)² + (y – 4)² + (z – 5)² = 5²
      (x – 2)² + (y – 4)² + (z – 5)² = 25
      x² + y ² + z² - 4x - 8y - 10z + 4 + 16 + 25 -25 = 0
      x² + y ² + z² - 4x - 8y - 10z + 20 = 0  (persamaan bola)


4. Tentuka pusat dan jari-jari bola dengan persamaan 4x² + 4y ² + 4z² - 4x + 8y + 16z - 13 = 0
    Pembahasan :
    4x² + 4y ² + 4z² - 4x + 8y + 16z - 13 = 0 (:4)
    x² + y ² + z² - x + 2y + 4z - 13/4 = 0
    didapat : A = -1, B = 2, C = 4, D = -13/4
    maka :
    titik pusat bola adalah 

BOLA


Devinisi Bola

     Permukaan Bola merupakan tempat kedudukan titik ujung vektor-vektor di dalam ruang yang titik awalnya adalah titik tertentu, dan panjangnya adalah konstant.

     Titik awal tertentu itu disebut TITIK PUSAT Bola, dan panjang vektor yang konstant itu disebut JARI-JARI Bola.


Persamaan Bola

Persamaan bola dengan pusat P(a, b, c) dan berjari-jari r. Ambil sembarang titik Q(x, y, z) pada bola.

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = r²

^{KOORDINAT BOLA :}

x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D  = 0

sehingga, didapat BENTUK UMUM persamaan Bola 

-2a = A, maka a = -½ A

-2b = B, maka b = -½B

-2c = C, maka c = -½C

Dengan demikian pusat Bola B pada persamaan diatas adalah

M(-½A, -½B, -½C)

Begitu pula karena  a² + b² + c² – R² = D, maka didapat jari-jari bola :

R² =  a² + b² + c² – D

R² = (-½A)² + (-½B)² + (-½C)² – D

R² = ¼A² + ¼B² + ¼C² – D

R² = √(¼A² + ¼B² + ¼C² – D) 

Untuk bola B dengan persamaan x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D  = 0 terdapat tiga kemungkinan, yaitu

1. Bila R² > 0, maka B adalah bola sejati

2. Bila R² = 0, maka B adalah bola titik (jari-jari = 0)

3. Bila R² < 0, maka B merupakan bola khayal

HIPERBOLA



Devinisi 

    Hiperbola adalah himpunan titiktitik pada suatu bidang dimana selisih jarah titik terhadap dua titik fokusnya (F1 dan F2) konstan.

Persamaan Hiperbola

1. Pusat (0,0)

     Horizontal :

     Vertikal :

2. pusat (h,k)

3. Garis Singgung

ELLIPSE


Devinisi

     Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu yang diketahui adalah tetap/konstan. Dua titik tertentu di atas disebut titik fokus  (foci).

1)   Elips yang berpusat di titik (0,0)

Elips didefinisikan sebagai lokus titik (x, y) yang bergerak sehingga jumlah jarak dari dua titik tetap (disebut fokus, atau berfokus) adalah konstan. Jadi, persamaan yang digunakan pada elips saat titik focus berada di (-a,0) dan (a,0) adalah

Dimana c didapat dari :

Jika sumbu utama adalah vertical, maka rumusnya menjadi :

Kita selalu menggunakan a dan b seperti a > b. Sumbu utama selalu dikaitkan dengan a.

HORIZONTAL :

VERTIKAL :

2)   Elips yang berpusat (h,k)

     Untuk sumbu utama horizontal, jika bergerak persimpangan sumbu x dan y ke titik (h,k) akan kita dapatkan:

HORIZONTAL :

VERTIKAL :

 3)   Garis Singgung

Garis singgung disuatu titik pada elips yang membagi dua sama besar sudut antara garis penghubung.

Suatu garis lurus dapat memotong elips, menyinggung atau tidak memotong dan tidak menyinggung elips. Dalam hal yang terakhri garis dan elips tidak mempunyai titik persekutuan. Kita akan mencari persaman garis singgung yang gradiennya m.

Jadi, persamaan garis singgung yang gradiennya m adalah,

PARABOLA


Devinisi

     Parabola adalah tempat kedudukan titik titik yang bergerak sama dari suatu titik dan suatu garis tertentu. Titik itu disebut titik api dan garis tertentu itu disebut garis garis arah (direktris).

     Parabola adalah bagian kerucut yang merupakan irisan antara permukaan suatu kerucut melingkar dengan suatu bidang datar. Parabola ini dapat dinyatakan dalam sebuah persamaan:

Atau secara umum, sebuah parabola adalah kurva yang mempunyai persamaan:

sehingga

dengan nilai A dan B yang riel dan tidak nol.

Contoh

Tentukan titik fokus dan garis direktris sebuah parabola y² + 10x = 0. Lalu buatlah sketsanya.

Pembahasan :

y² + 10x = 0

          y² = -10x

puncak di (0,0)

Halaman 293

10.   Persamaan bidang yang melalui titik-titik (0, 0, 0), (1, 3, 2), dan (3, 1, -2) adalah......

        Pembahasan :

        

HIPERBOLA DAN HIPERBOLOIDA


HIPERBOLA

(Perhatikan vidio di bawah ini!)

Hiperbola diperoleh dari irisan kerucut. Hiperbola merupakan himpunan titik-titik pada suatu bidang yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu besarnya sama.

Persamaan Hiperbola pusat (0, 0):
titik fokus pada sumbu-x

titik fokus pada sumbu-y

HIPERBOLOIDA

(Perhatikan vidio di bawah ini!)

Hiperboloida merupakan himpunan titik-titik pada bidang tiga dimensi yang selisih jaraknya terhadap dua titik tetap adalah sama.

Persamaan Hiperboloida dua daun :

dengan mengatur setiap variabel sama dengan nol :
jejak pada bidang xy :

jejak pada bidang xz : 

jejak pada bidang yz :

 (sehingga tidak ada jejak pada bidang yz)